数列｛an}满足a(n+1)=1+2^n +an且a(1)=3。则数列｛an}的前几项和Sn=?

解答：a[n+1]=1+2^n+a[n]可推出a[n+1]-a[n]=1+2^n
然后利用叠加法可求得a[n]=n+2^n-2
方法如下：a[n]=(a[n]-a[n-1])+(a[n-1]-a[n-2])+…+(a[3]-a[2])+(a[2]-a[1])+a[1]
=(1+2^(n-1))+(1+2^(n-2))+…+(1+2^2)+(1+2)+1
=(1+1+…+1)+（2^(n-1)+2^(n-2)+…+2^2+2）
=n+2(1-2^(n-1))/(1-2)
=2^n+n-2。
然后利用分组求和法求出S[n].
方法如下：S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
=(2+(-1))+(2^2+0)+(2^3+1)+…+(2^n+n-2)
=(2+2^2+2^3+…+2^n)+(-1+0+1+2+…+n-2)
=2(1-2^n)/(1-2)+n(-1+n-2)/2
=2^(n+1)+(n^2)/2-3n/2-2
注意：[]里面的数字指下标

a(n+1)-an=1+2^n
an-a(n-1)=1+2^(n-1)
……
a2-a1=1+2^1

各式相加，得：
a(n+1)-a1=1×n+2^1+2^2+……+2^n
a(n+1)=n+2^(n+1)-2+3
an=n-1+2^n+1=n+2^n

Sn是一个等差数列和一个等比数列的和。